assiomi

Il paradosso del continuo è forse il modo più elegante per raccontare quanto la matematica, quella disciplina che tutti immaginiamo fatta di risposte nette e dimostrazioni inattaccabili, sappia in realtà nascondere zone d'ombra profonde. C'è una domanda che da oltre un secolo resiste a ogni tentativo di risoluzione, e la cosa curiosa è che non si tratta di un problema troppo complicato da capire, ma di qualcosa che tocca le fondamenta stesse del pensiero matematico. L'idea comune vuole che la matematica sia il territorio delle certezze assolute. Un linguaggio in cui ogni affermazione finisce prima o poi nella casella del vero oppure in quella del falso, senza vie di mezzo. Ogni problema, si dice, ha una sua soluzione che qualcuno, con abbastanza pazienza e talento, riuscirà a dimostrare. Peccato che le cose non stiano sempre così. Esiste un enigma che si comporta in modo diverso da tutti gli altri, e proprio per questo ha finito per cambiare il modo in cui i matematici guardano alla propria disciplina. Un enigma senza soluzione, almeno per ora Il punto è che questo enigma sembra non avere alcuna soluzione. Non nel senso che nessuno l'ha ancora trovata, ma in un senso ben più radicale. La risposta non esiste all'interno delle regole con cui la matematica lavora oggi. Per arrivarci servirebbe qualcosa di nuovo, qualcosa che al momento non c'è. Servirebbero, per essere precisi, dei nuovi assiomi. Gli assiomi sono i mattoni di partenza, le verità che si accettano senza doverle dimostrare, quelle su cui si costruisce tutto il resto dell'edificio. E qui sta il nocciolo della questione. Con gli assiomi attualmente in uso, il problema resta sospeso in un limbo strano, dove non può essere né confermato né smentito. Una specie di terra di nessuno logica in cui la classica divisione tra vero e falso semplicemente smette di funzionare. È una faccenda che spiazza, se ci si pensa. Perché ribalta l'immagine rassicurante di una scienza in cui tutto, prima o poi, trova il suo posto. Il mistero irrisolvibile di cui parliamo mostra invece che ci sono domande destinate a rimanere aperte, non per limiti di chi le studia, ma per la natura stessa del sistema in cui vengono poste. E allora la strada, se una strada esiste, passa per una riscrittura delle fondamenta. Introdurre assiomi diversi significherebbe cambiare le regole del gioco, aprire nuove possibilità e magari trovare finalmente una risposta a una domanda che da più di cent'anni continua a sfuggire. Fino a quel momento il paradosso del continuo rimane lì, immobile, a ricordare che perfino nel regno delle certezze c'è spazio per l'irrisolvibile.

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Il paradosso del continuo: la crepa nelle certezze matematiche