Quando guardiamo alla matematica, possiamo imbatterci in molti concetti sorprendenti che possono sembrare falsi per quanto assurdi, ma con un’attenta riflessione possono essere dimostrati matematicamente. Chiamiamo questi veri e propri paradossi, esempi dei quali includono il problema di Monty Hall e il gatto di Schrödinger. Il paradosso del Grand Hotel di Hilbert è un altro esempio.
Conosciuto anche come “Infinite Hotel Paradox” o “Hilbert’s Hotel“, fu introdotto per la prima volta dal matematico tedesco David Hilbert (1862–1943) in una conferenza del 1924. È un esperimento mentale sulla natura del numeri infiniti.
L’Hotel Infinito
Supponiamo che dopo una lunga giornata in viaggio arrivi al Grand Hotel sfinito e con un disperato bisogno di una doccia. L’hotel ha una grande insegna sul davanti che vanta un numero infinito di stanze, ma purtroppo tutte le stanze sono occupate. Stai per partire quando il manager ti dice che questo non è un problema; può trovare spazio per te.
Chiede all’ospite nella stanza numero 1 di trasferirsi nella stanza numero 2. Chiede all’ospite della stanza 2 di trasferirsi nella stanza 3 e così via. Se un ospite ha iniziato nella stanza n, si sposta nella stanza n+1. Quindi ti consegna la chiave della stanza 1. Anche se questo hotel infinito era completamente occupato, il direttore è comunque riuscito a trovarti una stanza.
Possiamo continuare questa idea ulteriormente. Se cinque ospiti arrivassero contemporaneamente, il manager potrebbe spostare l’ospite dalla stanza 1 nella stanza 6, la stanza 2 nella stanza 7 e così via, ogni ospite spostando cinque stanze più in alto, il che lascerebbe cinque stanze libere per i nuovi ospiti.
Il manager non può semplicemente dare ai nuovi ospiti l’ultima stanza/le ultime stanze. Poiché ci sono un numero infinito di stanze, non esiste l’ultima stanza.
Un numero infinito di nuovi ospiti
Ma che dire se un numero infinito di ospiti si presentasse in cerca di stanze? Neanche questo è un problema. Questa volta il manager chiederebbe semplicemente a ogni occupante attuale della stanza di spostarsi in base al doppio del numero prenotato, quindi la stanza 1 si sposta nella stanza 2, la stanza 2 si sposta nella stanza 4 e così via, ogni ospite si sposta da n a 2n.
Ciò lascerebbe libere le stanze dispari. Poiché esiste un numero infinito di numeri dispari, il nostro numero infinito di nuovi ospiti può quindi trasferirsi in questi.
